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已知函数\(y=x+ \dfrac {a}{x}\)有如下性质：如果常数\(a > 0\)，那么该函数在\((0 , \sqrt {a} ]\)上是减函数，在\([ \sqrt {a} , +∞)\)上是增函数．
\((\)Ⅰ\()\)如果函数\(y=x+ \dfrac {2^{b}}{x} (x > 0)\)的值域为\([6 , +∞)\)，求\(b\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)研究函数\(y=x ^{2} + \dfrac {c}{x^{2}} (\)常数\(c > 0)\)在定义域内的单调性，并说明理由；
\((\)Ⅲ\()\)对函数\(y=x+ \dfrac {a}{x}\)和\(y=x ^{2} + \dfrac {a}{x^{2}} (\)常数\(a > 0)\)作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性\((\)只须写出结论，不必证明\()\)，并求函数\(F(x)=(x ^{2} + \dfrac {1}{x} ) ^{n} +( \dfrac {1}{x^{2}}+x ) ^{n} (n\)是正整数\()\)在区间\([ \dfrac {1}{2} , 2]\)上的最大值和最小值\((\)可利用你的研究结论\()\)．

若存在常数\(m∈R\)，使对任意的\(n∈N ^{*}\)，都有\(a _{n+1} \geqslant ma _{n}\)，则称数列\(\{a _{n} \}\)为\(Z(m)\)数列．
\((1)\)已知\(\{a _{n} \}\)是公差为\(2\)的等差数列，其前\(n\)项和为\(S _{n} .\)若\(S _{n}\)是\(Z(1)\)数列，求\(a _{1}\)的取值范围；
\((2)\)已知数列\(\{b _{n} \}\)的各项均为正数，记数列\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(R _{n}\)，数列\(\{b _{n} ^{2} \}\)的前\(n\)项和为\(T _{n}\)，且\(3T _{n} =R _{n} ^{2} +4R _{n}\)，\(n∈N ^{*}\)．
①求证：数列\(\{b _{n} \}\)是等比数列；
②设\(c _{n} =b _{n} + \dfrac {λn-1}{b_{n}}(λ∈R)\)，试证明：存在常数\(m∈R\)，对于任意的\(λ∈[2 , 3]\)，数列\(\{c _{n} \}\)都是\(Z(m)\)数列，并求出\(m\)的最大值．

定义：设\(M\)是非空实数集，若\(∃a∈M\)，使得对于\(∀x∈M\)，都有\(x\leqslant a(x\geqslant a)\)，则称\(a\)是\(M\)的最大\((\)小\()\)值．若\(A\)是一个不含零的非空实数集，且\(a _{0}\)是\(A\)的最大值，则\((\:\:\:\:)\)

已知\(S _{n} =\{A|A=(a _{1} , a _{2} , a _{3} , …a _{n} )\}\)，\(a _{i} =\{0\)或\(1\}\)，\(i=1\)，\(2\)，\(...\)，\(n(n\geqslant 2)\)，对于\(U\)，\(V∈S _{n}\)，\(d(U , V)\)表示\(U\)和\(V\)中相对应的元素不同的个数．
\((\)Ⅰ\()\)令\(U=(0 , 0 , 0 , 0 , 0)\)，存在\(m\)个\(V∈S _{5}\)，使得\(d(U , V)=2\)，写出\(m\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)令\(W=(0,0,...,0)(n个0)\)，\(U\)，\(V∈S _{n}\)，求证：\(d(U , W)+d(V , W)\geqslant d(U , V)\)；
\((\)Ⅲ\()\)令\(U=(a _{1} , a _{2} , a _{3} , … , a _{n} )\)，若\(V∈S _{n}\)，求所有\(d(U , V)\)之和．

在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现．例如，豌豆携带这样一对遗传因子：\(A\)使之开红花，\(a\)使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：\(AA\)为开红花，\(Aa\)和\(aA\)一样不加区分为开粉色花，\(aa\)为开白色花．生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以\( \dfrac {1}{2}\)的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的．可以把第\(n\)代的遗传设想为第\(n\)次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状\(Aa\)的父系来说，如果抛出正面就选择因子\(A\)，如果抛出反面就选择因子\(a\)，概率都是\( \dfrac {1}{2}\)；对母系也一样．父系、母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状．假设三种遗传性状\(AA\)，\(Aa(\)或\(aA)\)，\(aa\)在父系和母系中以同样的比例\(u\)：\(v\)：\(ω(u+v+ω=1)\)出现，则在随机杂交实验中，遗传因子\(A\)被选中的概率是\(p=u+ \dfrac {v}{2}\)，遗传因子\(a\)被选中的概率是\(q=ω+ \dfrac {v}{2}\)，称\(p\)，\(q\)分别为父系和母系中遗传因子\(A\)和\(a\)的频率，\(p\)：\(q\)实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比．基于以上常识回答以下问题：
\((1)\)如果植物的，上一代父系、母系的遗传性状都是\(Aa\)，后代遗传性状为\(AA\)，\(Aa(\)或\(aA)\)，\(aa\)的概率各是多少？
\((2)\)对某一植物，经过实验观察发现遗传性状\(aa\)具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状为\(AA\)和\(Aa(\)或\(aA)\)的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子\(A\)被选中的概率为\(p\)，\(a\)被选中的概率为\(q\)，\(p+q=1.\)求杂交所得子代的三种遗传性状\(AA\)，\(Aa(\)或\(aA)\)，\(aa\)所占的比例\(u _{1}\)，\(v _{1}\)，\(ω _{1}\)．
\((3)\)继续对\((2)\)中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为\(aa\)的个体．假设得到的第\(n\)代总体中\(3\)种遗传性状\(AA\)，\(Aa(\)或\(aA)\)，\(aa\)所占比例分别为\(u _{n}\)，\(v _{n}\)，\(ω _{n} (u _{n} +v _{n} +ω _{n} =1).\)设第\(n\)代遗传因子\(A\)和\(a\)的频率分别为\(p _{n}\)和\(q _{n}\)，已知有以下公式\(p _{n} = \dfrac {u_{n}+ \dfrac {v_{n}}{2}}{1-\omega _{n}}\)，\(q _{n} = \dfrac { \dfrac {v_{n}}{2}}{1-\omega _{n}}\)，\(n=1\)，\(2\)，\(……\)，证明\(\{ \dfrac {1}{q_{n}} \}\)是等差数列．
\((4)\)求\(u _{n}\)，\(v _{n}\)，\(ω _{n}\)的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？

已知函数\(f(x)=e ^{x} -e ^{-x}\)，\(g(x)=ax(e\)为自然对数的底数\()\)，其中\(a∈R\)．
\((1)\)试讨论函数\(F(x)=f(x)-g(x)\)的单调性；
\((2)\)当\(a=2\)时，记函数\(f(x)\)，\(g(x)\)的图象分别为曲线\(C _{1}\)，\(C _{2} .\)在\(C _{2}\)上取点\(P _{n} (x _{n} , y _{n} )\)作\(x\)轴的垂线交\(C _{1}\)于\(Q _{n}\)，再过点\(Q _{n}\)作\(y\)轴的垂线交\(C _{2}\)于\(P _{n+1} (x _{n+1} , y _{n+1} )(n∈N*)\)，且\(x _{1} =1\)．
①用\(x _{n}\)表示\(x _{n+1}\)；
②设数列\(\{x _{n} \}\)和\(\{\ln x _{n} \}\)的前\(n\)项和分别为\(S _{n}\)，\(T _{n}\)，求证：\(S _{n} -T _{n+1} > n\ln 2\)．

设数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，且\(S _{n} =2a _{n} -2\)，\(n∈N ^{*}\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式．
\((2)\)设数列\(\{a _{n} ^{2} \}\)的前\(n\)项和为\(T _{n}\)，求\( \dfrac {S_{2n}}{T_{n}}\)．
\((3)\)判断数列\(\{3 ^{n} -a _{n} \}\)中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．

对给定的正整数\(n\)，令\(Ω _{n} =\{a=(a _{1} , a _{2} , … , a _{n} )|a _{i} ∈\{0\)，\(1\}\)，\(i=1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)，\(n\}.\)对任意的\(x=(x _{1} , x _{2} , … , x _{n} )\)，\(y=(y _{1} , y _{2} , … , y _{n} )∈Ω _{n}\)，定义\(x\)与\(y\)的距离\(d(x , y)=|x _{1} -y _{1} |+|x _{2} -y _{2} |+…+|x _{n} -y _{n} |.\)
设\(A\)是\(Ω _{n}\)的含有至少两个元素的子集，集合\(D=\{d(x , y)|x\neq y\)，\(x\)，\(y∈A\}\)中的最小值称为\(A\)的特征，记作\(χ(A)\)．
\((\)Ⅰ\()\)当\(n=3\)时，直接写出下述集合的特征：\(A=\{(0 , 0 , 0)\)，\((1 , 1 , 1)\}\)，\(B=\{(0 , 0 , 0)\)，\((0 , 1 , 1)\)，\((1 , 0 , 1)\)，\((1 , 1 , 0)\}\)，\(C=\{(0 , 0 , 0)\)，\((0 , 0 , 1)\)，\((0 , 1 , 1)\)，\((1 , 1 , 1)\}\)．
\((\)Ⅱ\()\)当\(n=2020\)时，设\(A⊆Ω _{2020}\)且\(χ(A)=2\)，求\(A\)中元素个数的最大值；
\((\)Ⅲ\()\)当\(n=2020\)时，设\(A⊆Ω _{2020}\)且\(χ(A)=3\)，求证：\(A\)中的元素个数小于\( \dfrac {2^{2020}}{2021}\)．

如图，设\(A\)是由\(n×n\)个实数组成的\(n\)行\(n\)列的数表，其中\(a _{ij} (i , j=1 , 2 , 3 , … , )n\)表示位于第\(i\)行第\(j\)列的实数，且\(a _{ij} ∈\{1 , -1\}.\)记\(S(n , n)\)为所有这样的数表构成的集合．对于\(A∈(n , n)\)，记\(r _{i} (A)\)为\(A\)的第\(i\)行各数之积，\(c _{j} (A)\)为\(A\)的第\(j\)列各数之积．令\(I(A)= \sum\limits_{i=1}^{n}r_{i}(A)+ \sum\limits_{j=1}^{n}C_{j}(A)\)．

\(a _{11}\)	\(a _{12}\)	\(…\)	\(a _{1n}\)
\(a _{21}\)	\(a _{22}\)	\(…\)	\(a _{2n}\)
\(…\)	\(…\)	\(…\)	\(…\)
\(a _{n1}\)	\(a _{n2}\)	\(…\)	\(a _{nn}\)

\((\)Ⅰ\()\)请写出一个\(A∈S(4 , 4)\)，使得\(l(A)=0\)；
\((\)Ⅱ\()\)是否存在\(A∈S(9 , 9)\)，使得\(l(A)=0\)？说明理由；
\((\)Ⅲ\()\)给定正整数\(n\)，对于所有的\(A∈S(n , n)\)，求\(l(A)\)的取值集合．

给定\(n(n\geqslant 3 , n∈N*)\)个不同的数\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(……\)，\(n\)，它的某一个排列\(P\)的前\(k(k∈N* , 1\leqslant k\leqslant n)\)项和为\(S _{k}\)，该排列\(P\)中满足\(2S _{k} \leqslant S _{n}\)的\(k\)的最大值为\(k _{p} .\)记这\(n\)个不同数的所有排列对应的\(k _{p}\)之和为\(T _{n}\)．
\((1)\)若\(n=3\)，求\(T _{3}\)；
\((2)\)若\(n=4l+1\)，\(l∈N*\)，
\((i)\)证明：对任意的排列\(P\)，都不存在\(k(k∈N* , 1\leqslant k\leqslant n)\)使得\(2S _{k} =S _{n}\)；
\((ii)\)求\(T _{n} (\)用\(n\)表示\()\)．