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已知\(\{a_{n}\}\)是首项为\(1\)的等比数列，\(S_{n}\)是\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，且\(9S_{3}=S_{6}\)，则数列\(\left\{ \left. \dfrac{1}{a_{n}} \right. \right\}\)的前\(5\)项和为\((\)　　\()\)

若等比数列\(\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}{,}\dfrac{S_{8}}{S_{4}}{=}3{则}\dfrac{S_{16}}{S_{4}}{=}({  })\)

已知等比数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}=a\cdot {{2}^{n}}+b\)且_{\({{a}_{1}}\)}\(=3\)．

\((1)\)求\(a\)、\(b\)的值及数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{n}{{{a}_{n}}}\)求\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．

已知等比数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=2\)，\(a_{n} > 0(n∈N^{*})\)，\(S_{6}+a_{6}\)是\(S_{4}+a_{4}\)，\(S_{5}+a_{5}\)的等差中项．

\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}={{\log }_{\frac{1}{2}}}{{a}_{2n-1}}\)，数列\(\{\dfrac{2}{{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求\(T_{n}\)．

\((1)\)已知向量\(\overrightarrow{a}=\left(2,4\right) \)，\(\overrightarrow{b}=\left(-1,m\right) \)，且\(\overrightarrow{a} \)与\(\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b} \)平行，则\(m\)等于_________．

\((2)\)设\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}1\leqslant x\leqslant 3 \\ -1\leqslant x-y\leqslant 0\end{cases} \)，则\(z=2x-y \)的最大值为______．

\((3)\)设数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)是由正数组成的等比数列，\({S}_{n} \)为其前\(n\)项和，已知\({a}_{2}{a}_{4}=1,{S}_{3}=7 \)，则\({S}_{5}= \)_______．

\((4)\)已知三棱锥\(P-ABC\)内接于球\(O\)，\(PA=PB=PC=2\)，当三棱锥\(P-ABC\)的三个侧面的面积之和最大时，球\(O\)的表面积为_____．

在数列\(\{a_{n}\}\)中，已知\(a_{1}+a_{2}+…+a_{n}=2^{n}-1\)，，则\(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}\)等于________．

设数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，已知\({{a}_{1}}=1\)，\({{S}_{n+1}}-2{{S}_{n}}=1(n\in {{N}^{*}}).\)

\((1)\)求证：数列\(\{{{a}_{n}}\}\)为等比数列；

\((2)\)若数列\(\{{{b}_{n}}\}\)满足：\({{b}_{1}}=1\)，\({{b}_{n+1}}=\dfrac{{{b}_{n}}}{2}+\dfrac{1}{{{a}_{n+1}}}\)．

\(①\) 求数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的通项公式；

\(②\) 是否存在正整数\(n\)，使得\(\sum\limits_{i=1}^{n}{{{b}_{i}}}=4-n\)成立？若存在，求出所有\(n\)的值；若不存在，请说明理由．

已知公差非零的等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)前四项和为\(10\)，且\({{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{7}}\)成等比数列。

\((\)Ⅱ\()\)设\({{b}_{n}}={{2}^{{{a}_{n}}}}\)，求数列\({{b}_{n}}\)的前\(n\)项和\({{s}_{n}}\)