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题型：解答题题类：期末考试难易度：难
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年份：2020

一农妇原有\(a _{0} ∈N*\)个鸡蛋，现分\(9\)次售卖鸡蛋，设每次卖出后剩下的鸡蛋个数依次为\(a _{1}\)，\(a _{2}\)，\(…\)，\(a _{9}\)个．
\((\)Ⅰ\()\)如果农妇第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个，第三次又卖去剩下的一半又半个，\(…\)，第九次仍然卖去剩下的一半又半个，而且这次恰好全部卖完，求\(a _{9}\)，\(a _{8}\)，\(a _{7}\)，给出数列\(\{a _{n} \}\)的递公式并据此求出\(a _{0}\)；
\((\)Ⅱ\()\)鸡蛋无法分割出售，如果农妇原有鸡蛋\(a _{0} =511\)个，是否存在\(p\)，\(q∈N*\)，\((p > 2)\)，使得农妇按如下方式卖鸡蛋：第一次卖去全部的\( \dfrac {1}{p}\)又\( \dfrac {1}{q}\)个，第二次卖去剩下的\( \dfrac {1}{p}\)又\( \dfrac {1}{q}\)个，第三次又卖去剩下的\( \dfrac {1}{p}\)又\( \dfrac {1}{q}\)个，\(…\)，第九次仍然卖去剩下的\( \dfrac {1}{p}\)又\( \dfrac {1}{q}\)个，而且这次恰好全部卖完？如果存在，求出可能的\(p\)，\(q\)的值，如果不存在，请说明理由．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
新
年份：2020

设数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，已知\(2S _{n} =a _{n+1} -2 ^{n+1} +1(n∈N ^{*} )\)，且\(a _{2} =5\)．
\((1)\)证明\(\{ \dfrac {a_{n}}{2^{n}} +1\}\)为等比数列，并求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b _{n} =\log _{3} (a _{n} +2 ^{n} )\)，且\( \dfrac {1}{ b_{ 1 }^{ 2 }}+ \dfrac {1}{ b_{ 2 }^{ 2 }}+ \dfrac {1}{ b_{ 3 }^{ 2 }}+…+ \dfrac {1}{ b_{ n }^{ 2 }}\)证明\(T _{n} < 2\)；
\((3)\)在\((2)\)小问的条件下，若对任意的\(n∈N ^{*}\)，不等式\(b _{n} (1+n)-λn(b _{n} +2)-6 < 0\)恒成立，试求实数\(λ\)的取值范围．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
新
年份：2020

在等比数列\(\{b _{n} \}\)中，公比为\(q(0 < q < 1)\)，\(b _{1}\)、\(b _{3}\)、\(b_{5}∈\{ \dfrac {1}{48}, \dfrac {1}{32}, \dfrac {1}{24}, \dfrac {1}{8}, \dfrac {1}{2}\}\)．
\((1)\)求数列\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)设\(c _{n} =(3n-2)b _{n}\)，求数列\(\{c _{n} \}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较易
新
年份：2020

已知等比数列\(\{a _{n} \}\)的各项都为正数，\(S _{n}\)为其前\(n\)项和，\(a _{3} =8\)，\(S _{3} =14\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)记\(T _{n} = \dfrac {a_{1}}{(a_{1}-1)(a_{2}-1)} + \dfrac {a_{2}}{(a_{2}-1)(a_{3}-1)} +……+ \dfrac {a_{n}}{(a_{n}-1)(a_{n+1}-1)}\)，求使得\(T _{n} \geqslant \dfrac {2020}{2021}\)成立的正整数\(n\)的最小值．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：难
新
年份：2020

正项等差数列\(\{a _{n} \}\)中，已知\(a _{1} +a _{2} +a _{3} =15\)，且\(a _{1} +2\)，\(a _{2} +5\)，\(a _{3} +13\)构成等比数列\(\{b _{n} \}\)的前三项．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a _{n} \}\)，\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)求数列\(\{a _{n} \boldsymbol{⋅}b _{n} \}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
新
年份：2020

等比数列\(\{a _{n} \}\)中，\(a _{2} =2\)，\(a _{5} =16\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b _{n} =\log _{2} a _{n}\)，求数列\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项和\(S _{n}\)．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
新
年份：2020

在等比数列\(\{a _{n} \}\)中，已知\(a _{2} =4\)，\(a _{7} =128\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)若\(a _{3}\)，\(a _{5}\)分别是等差数列\(\{b _{n} \}\)的第\(3\)项和第\(5\)项，试求数列\(\{b _{n} \}\)的通项公式．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较易
新
年份：2020

已知\(a _{2}\)、\(a _{5}\)是方程\(x ^{2} -12x+27=0\)的两根，数列\(\{a _{n} \}\)是递增的等差数列，数列\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，且\(S _{n} =1- \dfrac {1}{2} b _{n} (n∈N ^{+} ).\)
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)，\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)记\(c _{n} =a _{n} b _{n}\)，求数列\(\{c _{n} \}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
新
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)为公比不为\(1\)的等比数列，且\(a _{1} =1\)，\(a _{2}\)，\(2a _{3}\)，\(3a _{4}\)成等差数列．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式和前\(n\)项和\(S _{n}\)；
\((\)Ⅱ\()\)设数列\(\{b _{n} \}\)满足\(b _{1} =a _{1}\)，对任意的\(n∈N*\)，\( \dfrac {b_{n+1}}{a_{n+1}} - \dfrac {b_{n}}{a_{n}} =5\)．
\((ⅰ)\)求数列\(\{b _{n} \}\)的最大项；
\((ⅱ)\)是否存在等差数列\(\{c _{n} \}\)，使得对任意\(n∈N*\)，都有\(2S _{n} \leqslant c _{n} \leqslant 5-b _{n}\)？若存在，求出所有符合题意的等差数列\(\{c _{n} \}\)；若不存在，请说明理由．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：中档
新
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)的相邻两项\(a _{n}\)，\(a _{n+1}\)是关于\(x\)的方程\(x^{2}-2^{n}x+b_{n}=0(n∈N^{*})\)的两实根，且\(a _{1} =1\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(a _{2}\)，\(a _{3}\)，\(a _{4}\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)求证：数列\(\{a_{n}- \dfrac {1}{3}×2^{n}\}\)是等比数列，并求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式．

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