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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
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年份：2020

正项等比数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，且\(a _{1} =1\)，\(S _{2} +4S _{4} =S _{6}\)．
\((1)\)求\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)求数列\(\{a _{n} +n\}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(S _{n}\)，且\(2S_{n}=n^{2}+n (n∈N ^{*} )\)，数列\(\{b _{n} \}\)为等比数列，且\(b _{2} =a _{4}\)，\(b _{1} +b _{3} =S _{4}\)．
\((1)\)求\(\{a _{n} \}\)和\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)若数列\(\{b _{n} \}\)为递增数列，设\(c_{n}=(-1)^{n}a_{n}\cdot b_{n}\)，求数列\(\{c _{n} \}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：难
新
年份：2020

若存在常数\(m∈R\)，使对任意的\(n∈N ^{*}\)，都有\(a _{n+1} \geqslant ma _{n}\)，则称数列\(\{a _{n} \}\)为\(Z(m)\)数列．
\((1)\)已知\(\{a _{n} \}\)是公差为\(2\)的等差数列，其前\(n\)项和为\(S _{n} .\)若\(S _{n}\)是\(Z(1)\)数列，求\(a _{1}\)的取值范围；
\((2)\)已知数列\(\{b _{n} \}\)的各项均为正数，记数列\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项和为\(R _{n}\)，数列\(\{b _{n} ^{2} \}\)的前\(n\)项和为\(T _{n}\)，且\(3T _{n} =R _{n} ^{2} +4R _{n}\)，\(n∈N ^{*}\)．
①求证：数列\(\{b _{n} \}\)是等比数列；
②设\(c _{n} =b _{n} + \dfrac {λn-1}{b_{n}}(λ∈R)\)，试证明：存在常数\(m∈R\)，对于任意的\(λ∈[2 , 3]\)，数列\(\{c _{n} \}\)都是\(Z(m)\)数列，并求出\(m\)的最大值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

等差数列\(\{a _{n} \}\)和等比数列\(\{b _{n} \}\)满足\(a _{1} =1\)，\(a _{1} b _{1} +a _{2} b _{2} +…+a _{n} b _{n} =(n-1)\boldsymbol{⋅}2 ^{n+1} +2\)．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a _{n} \}\)，\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)若数列\(\{c _{n} \}\)满足：\(b _{n} c _{n} =a _{n} +c _{n}\)，求证：\(c _{1} +c _{2} +…+c _{n} < 3\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

已知正项等差数列\(\{a _{n} \}\)与等比数列\(\{b _{n} \}\)满足\(a _{1} =1\)，\(b _{2} =4\)，且\(a _{2}\)既是\(a _{1} +b _{1}\)和\(b _{3} -a _{3}\)的等差中项，又是其等比中项．
\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a _{n} \}\)和\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)记\(c _{n} = \begin{cases} { \dfrac {1}{a_{n}a_{n+2}},n=2k+1} \\ {a_{n}\cdot b_{n},n=2k}\end{cases}\)，其中\(k∈N*\)，求数列\(\{c _{n} \}\)的前\(2n\)项和\(S _{2n}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：中档
新
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} +1\}\)的前\(n\)项和\(S _{n}\)满足\(S _{n} =3a _{n}\)，\(n∈N ^{*}\)．
\((1)\)求证数列\(\{a _{n} +1\}\)为等比数列，并求\(a _{n}\)关于\(n\)的表达式；
\((2)\)若\(b_{n}=\log _{ \frac {3}{2}}(a_{n}+1)\)，求数列\(\{(a _{n} +1)b _{n} \}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：期末考试难易度：较难
新
年份：2020

设数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，已知\({{a}_{1}}=1\)，\({{S}_{n+1}}-2{{S}_{n}}=1\)，\(n\in {{N}^{*}}\)．
\((1)\)证明：\(\left\{ {{S}_{n}}+1 \right\}\)为等比数列，求出\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式\(;\)
\((2)\)若\({{b}_{n}}=\dfrac{n}{{{a}_{n}}}\)，求\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)，并判断是否存在正整数\(n\)使得\({{T}_{n}}\cdot {{2}^{n-1}}=n+50\)成立\(?\)若存在求出所有\(n\)值\(;\)若不存在说明理由．

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题型：解答题题类：期中考试难易度：中档
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年份：2020

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)为等比数列，且\({{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{n+1}}\)．
\((1)\)求公比\(q\)和\({{a}_{3}}\)的值；
\((2)\)若\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，求证：\({{a}_{1}},-{{S}_{n}}+1,{{a}_{2n-1}}\)成等比数列．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
新
年份：2020

已知数列\(\{a _{n} \}\)的前\(n\)项和\(S _{n} =n ^{2} +pn\)．
\((1)\)求数列\(\{a _{n} \}\)的通项公式；
\((2)\)已知\(a _{4}\)，\(a _{7}\)，\(a _{12}\)成等比数列，求\(p\)值；
\((3)\)在\((2)\)下，若\(b _{n} =1+ \dfrac {2}{a_{n}\cdot a_{n+1}}\)，求数列\(\{b _{n} \}\)的前\(n\)项和\(T _{n}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较易
新
年份：2020

已知\(\{a _{n} \}\)为等差数列，前\(n\)项和为\(S_{n}(n∈N^{*})\)，\(\{b _{n} \}\)是首项为\(2\)的等比数列，且公比大于\(0\)，\(b _{2} +b _{3} =12.b _{3} =a _{3} +a _{5}\)，\(b _{6} =S _{11} -2\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(\{a _{n} \}\)和\(\{b _{n} \}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)设数列\(\{c _{n} \}\)满足\(c_{n}= \begin{cases} a_{n},n∈N^{*}\text{且}n\neq 2^{k} \\ lo g_{ \frac {1}{3} }^{ a_{n} }\cdot lo g_{ 2 }^{ b_{n} },n=2^{k},\end{cases}\)，其中\(k∈N ^{*}\)，
\((i)\)求数列\(\{c_{2^{n}}\}\)的通项公式；
\((ii)\)求\( \sum\limits_{i=1}^{2^{n}}c_{i}\)．

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