椭圆的几何性质-山东版高教版（拓展上）数学同步练习题

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
新
年份：2020

已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1 (a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F _{1}\)，\(F _{2}\)，短轴长为\(2 \sqrt {3}\)，\(A\)，\(B\)是\(C\)上关于\(x\)轴对称的两点，\(\triangle ABF _{1}\)周长的最大值为\(8\)．
\((1)\)求\(C\)的标准方程．
\((2)\)过\(C\)上的动点\(M\)作\(C\)的切线\(l\)，过原点\(O\)作\(OP⊥l\)于点\(P.\)问：是否存在直线\(l\)，使得\(\triangle OMP\)的面积为\(1\)？若存在，求出此时直线\(l\)的方程；若不存在，请说明理由．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较难
新
年份：2020

已知椭圆的中心是坐标原点\(O\)，焦点在\(x\)轴上，离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，坐标原点\(O\)到过右焦点\(F\)且斜率为\(1\)的直线的距离为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)．
\((1)\)求椭圆的标准方程；
\((2)\)设过右焦点\(F\)且与坐标轴不垂直的直线\(l\)交椭圆于\(P\)、\(Q\)两点，在线段\(OF\)上是否存在点\(M(m , 0)\)，使得\(|MP|=|MQ|\)？若存在，求出\(m\)的取值范围；若不存在，请说明理由．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
新
年份：2020

已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，短轴长为\(2\)，\(M\)、\(M{'}\)是椭圆\(C\)上、下两个顶点，\(N\)在椭圆\(C\)上且非顶点，直线\(M{'}N\)交\(x\)轴于点\(P\)，\(A _{1}\)，\(A _{2}\)是椭圆\(C\)的左，右顶点，直线\(A _{1} M\)，\(A _{2} N\)交于点\(Q\)．
\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
\((2)\)证明：直线\(PQ\)与\(y\)轴平行．

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题型：选择题题类：月考试卷难易度：较难
新测
年份：2020

如图，已知白纸上有一椭圆\(C\)，它焦点为\(F _{1}\)，\(F _{2}\)，长轴\(A _{1} A _{2}\)，短轴\(B _{1} B _{2}\)，\(P\)是椭圆上一点，将白纸沿直线\(B _{1} B _{2}\)折成\(90°\)角，则下列正确的是\((\:\:\:\:)\)
①当\(P\)在\(B _{1} (\)或\(B _{2} )\)时，\(PF _{1} +PF _{2}\)最大．
②当\(P\)在\(A _{1} (\)或\(A _{2} )\)时，\(PF _{1} +PF _{2}\)最小．

A.①② B.① C.② D.都不正确

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
新
年份：2020

已知椭圆\(E： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，长轴长为\(4\)，\(P\)为椭圆\(E\)上一点，\(F\)为椭圆的右焦点，满足\(PF\)与\(x\)轴垂直，且\(|PF|= \dfrac {3}{2}\)．
\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；
\((2)\)已知\(Q\)为直线\(x=4\)上一点，直线\(QF\)与椭圆\(E\)依次交于\(A\)，\(B\)两点\((\)按照\(Q\)、\(A\)、\(F\)、\(B\)的顺序\()\)，证明：\( \dfrac {|QA|}{|QB|}= \dfrac {|FA|}{|FB|}\)．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
新
年份：2020

已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{5}=1\)的上焦点为\(F\)，曲线\(C _{1}\)上动点\(M(x , y)(y\geqslant 0)\)到\(F\)的距离\(|MF|\)比点\(M\)到\(x\)轴的距离长\(1\)个单位．
\((1)\)求曲线\(C _{1}\)的方程；
\((2)\)若直线\(L\)：\(y=kx+t\)与曲线\(C _{1}\)相交于\(A\)、\(B\)两点，过\(A\)、\(B\)分别作曲线\(C _{1}\)的切线相交于点\(P\)，直线\(PA\)、\(PB\)分别与\(x\)轴相交于\(C\)、\(D\)，若\(AB\)与\(y\)轴相交于点\(Q\)．
①四边形\(PCQD\)是否为平行四边形？说明理由．
②四边形\(PCQD\)能否为矩形？若能，求出点\(Q\)的坐标；若不能，请说明理由．

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题型：解答题题类：月考试卷难易度：较难
新
年份：2020

已知点\(P (-1, \dfrac {3}{2})\)是椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)上一点，\(F _{1}\)、\(F _{2}\)分别是椭圆的左、右焦点，\(|PF _{1} |+|PF _{2} |=4\)．
\((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
\((2)\)设直线\(l\)不经过\(P\)点且与椭圆\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点．若直线\(PA\)与直线\(PB\)的斜率之和为\(1\)，问：直线\(l\)是否过定点？证明你的结论．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
新
年份：2020

已知椭圆\(M： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点\(N( \sqrt {2}, \dfrac { \sqrt {2}}{2})\)．
\((1)\)求椭圆\(M\)的方程；
\((2)\)若斜率为\(- \dfrac {1}{2}\)的直线\(l _{1}\)与椭圆\(M\)交于\(P\)，\(Q\)两点\((\)点\(P\)，\(Q\)不在坐标轴上\()\)；证明：直线\(OP\)，\(PQ\)，\(OQ\)的斜率依次成等比数列．
\((3)\)设直线\(l _{2}\)与椭圆\(M\)交于\(A\)，\(B\)两点，且以线段\(AB\)为直径的圆过椭圆的右顶点\(C\)，求\(ABC\)面积的最大值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
新
年份：2020

已知椭圆\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，四点\(P _{1} (2 , \sqrt {3} )\)，\(P_{2}(0, \sqrt {2})\)，\(P _{3} (-2 , \dfrac { \sqrt {6}}{3} )\)，\(P _{4} (2 , \dfrac { \sqrt {6}}{3} )\)中恰有三个点在椭圆\(C\)上，左、右焦点分别为\(F _{1}\)、\(F _{2}\)．
\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
\((2)\)过左焦点\(F _{1}\)且不与坐标轴平行的直线\(l\)交椭圆于\(P\)、\(Q\)两点，若线段\(PQ\)的垂直平分线交\(y\)轴于点\(D\)，求\( \dfrac {|PQ|}{|OD|}\)的最小值．

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题型：解答题题类：模拟题难易度：较难
新
年份：2020

已知椭圆\(C _{1}\)：\( \dfrac {y^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {x^{2}}{b^{2}}=1 (a > b > 0)\)，\(P _{1} (1 , 1)\)，\(P _{2} (0 , 2)\)，\(P _{3} ( \dfrac { \sqrt {3}}{2} , -1)\)，\(P _{4} ( \dfrac { \sqrt {3}}{2} , 1)\)四点中恰有三点在椭圆\(C _{1}\)上，抛物线\(C _{2}\)：\(y ^{2} =2px(p > 0)\)焦点到准线的距离为\( \dfrac {1}{2}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C _{1}\)、抛物线\(C _{2}\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)过椭圆\(C _{1}\)右顶点\(Q\)的直线\(l\)与抛物线\(C _{2}\)交于点\(A\)、\(B\)，射线\(OA\)、\(OB\)分别交椭圆\(C _{1}\)于点\(M\)、\(N\)．
\((i)\)证明：\( \overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}\)为定值；
\((ii)\)求\(\triangle AOB\)、\(\triangle MON\)的面积分别为\(S _{1}\)、\(S _{2}\)，求\( \dfrac {S_{1}}{S_{2}}\)的最小值．

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